Question

（1）解不等式：log2(x+

1

x

+6)≤3；
（2）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|0≤ax+1≤3}．若A∪B=B，求实数a的取值组成的集合．

Answer 1

分析：（1）利用函数y=log₂x在（0，+∞）的单调性和分式不等式的解法即可得出．
（2）利用一元二次方程和不等式的解法、集合的运算即可得出．

解答：解：（1）由log2(x+

1

x

+6)≤3得，log2(x+

1

x

+6)≤3=log28
∴0＜x+

1

x

+6≤8．
由x+

1

x

+6≤8化为

(x-1)2

x

≤0?x＜0或x=1．
由0＜x+

1

x

+6化为

x2+6x+1

x

＞0?x（x²+6x+1）＞0?

x＞0 x2+6x+1＞0

或

x＜0 x2+6x+1＜0

，解得x＞0或-3-2

2

＜x＜-3+2

2

．
从而得原不等式的解集为(-3-2

2

，-3+2

2

)∪{1}．
（2）法一：∵A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
又∵B={x|0≤ax+1≤3}={x|-1≤ax≤2}，
∵A∪B=B，∴A⊆B
①当a=0时，B=R，满足题意．
②当a＞0时，B={x|-

1

a

≤x≤

2

a

}，
∵A⊆B∴

2

a

≥2，解得0＜a≤1．
③当a＜0时，B={x|

2

a

≤x≤-

1

a

}，
∵A⊆B∴-

1

a

≥2，解得-

1

2

≤a＜0．
综上，实数a的取值组成的集合为[-

1

2

，1]．
法二：∵A∪B=B，∴A⊆B
又A={1，2}，∴

0≤a+1≤3 0≤2a+1≤3

，
∴

-1≤a≤2 - 1 2 ≤a≤1

，∴-

1

2

≤a≤1．
∴实数a的取值组成的集合为[-

1

2

，1]．

点评：本题考查了对数函数的单调性、分式不等式的解法、一元二次方程和不等式的解法、集合的运算、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．