Question

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)，若

AC

•

BC

=-1，则

1+tanα

2sin2α+sin2α

的值为（　　）

• A、-

  5

  9

• B、-

  9

  5

• C、2
• D、3

Answer 1

分析：先由A、B、C三点的坐标，求出

AC

与

BC

的坐标，再根据

AC

•

BC

=-1，列出一个关于α的方程，可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题．

解答：解：由

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
得

AC

•

BC

=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，
∴2sinαcosα=-

5

9

，

1+tanα

2sin2α+sin2α

=

1+ sinα cosα

2sin2α+2sinαcosα

=

1

2sinαcosα

=-

9

5

．
故选B

点评：解决此题的关键是：熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法．已知某三角函数值、求其它三角函数的值．一般先化简，再求值．化简三角函数的基本方法：统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简．