Question

14．函数f（x）=4^x-2^x+1
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）若x∈[-2，2]，求函数y=log_af（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用换元法结合复合函数单调性之间的关系即可求函数f（x）的单调递增区间．
（2）若x∈[-2，2]，先求出函数f（x）的取值范围，利用对数函数的单调性即可求函数y=log_af（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=4^x-2^x+1=（2^x）²-2^x+1=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
设t=2^x，则函数等价为y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，对称轴为t=$\frac{1}{2}$，
由t=2^x=$\frac{1}{2}$得x=-1，
即当x≤-1时，t≤$\frac{1}{2}$，此时t=2^x为增函数，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$为减函数，则根据复合函数单调性的性质可知此时f（x）为减函数，
当x≥-1时，t≥$\frac{1}{2}$，此时t=2^x为增函数，而y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$为增函数，则根据复合函数单调性的性质可知此时f（x）为增函数，
即函数f（x）的单调递增区间为为[-1，+∞）．
（2）若x∈[-2，2]，则t∈[$\frac{1}{4}$，4]，此时y=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$∈[$\frac{3}{4}$，13]，
若a＞1，则log_a$\frac{3}{4}$≤y≤log_a13，此时函数y=log_af（x）的值域为[log_a$\frac{3}{4}$，log_a13]．
若0＜a＜1，则log_a13≤y≤log_a$\frac{3}{4}$，此时函数y=log_af（x）的值域为[log_a13，log_a$\frac{3}{4}$]．

点评 本题主要考查指数型函数的单调性的应用，利用换元法结合一元二次函数和对数函数，指数函数的单调性以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．