Question

已知数列{a_n}是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是S_n，S₁₁≥0，S₁₂＜0，S_n的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立，且y=f（x） 的所有零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为

15个

．

Answer 1

分析：根据已知结合等差数列的性质，求出数列的公差d，进而求出数列的前n项的是S_n的最大值是S，由函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立，分析也函数图象关于直线x=3对称，即函数y=f（x）所有零点的平均数为3，进而求出函数零点的个数．

解答：解：设数列{a_n}的公差为d，则d∈Z
∵S₁₁=11•a₆≥0，
∴a₆=a₁+5d=15+5d≥0，
解得d≥-3…①
又∵S₁₂=

a1+a12

2

•12=

a6+a7

2

•12=180+66d＜0，
解得d＜-

30

11

…②
由①②得d=-3
则S_n=-

3

2

n²+

33

2

n
则当n=5或n=6时，S_n的最大值是S=45
∵函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5-x）对任意实数x都成立
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
即函数y=f（x）所有零点的平均数为3
又∵y=f（x） 的所有零点和恰好为S=45
∴y=f（x）的零点共有

45

3

=15个
故答案为：15

点评：本题考查的知识点是函数零点，函数的对称性，等差数列的性质，等差数列的前n项和，是数列与函数的综合应用，难度中档．