Question

（2012•安徽模拟）已知函数f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)．
（I）若f（x）为奇函数，求a的值；
（III）当a=5时，函数f（x）的图象是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，求出f（x）的定义域可得0在其定义域上，由奇函数的性质f（0）=0可得

a×20-1

1+20

=0，解可得a的值，
（Ⅱ）由题意可得，a=5时，f（x）的解析式，可以假设f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心的坐标为（h，k），由其对称性可得对于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，将解析式代入，变形整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，分析可得

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，解可得h、k的值，即可得f（x）的对称性与其对称中心的坐标．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=

a×2x-1

1+2x

(a∈R)，有1+2^x＞1恒成立，
则f（x）的定义域为R，
又由函数f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
则f（0）=

a×20-1

1+20

=0，解可得a=1，
此时f（x）=

2x-1

1+2x

；
（Ⅱ）当a=5时，f（x）=

5×2x-1

1+2x

=5-

6

1+2x

，
假设f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心的坐标为（h，k），
则对于任意的x∈R，有f（h+x）+f（h-x）=2k恒成立，
10-6（

1

1+2h+x

+

1

1+2h-x

）=2k恒成立，
整理可得（4-2k）×2^h+x+（4-2k）×2^h-x+[（10-2k）×2^2h-2-2k]=0恒成立，
于是有

4-2k=0 (10-2k)×22h-2-2k=0

，解可得h=0，k=2，
故当a=5时，函数f（x）的图象存在对称中心，且其对称中心为（0，2）．

点评：本题考查函数的对称性与奇偶性的应用，（Ⅰ）中可以利用当0在函数的定义域上时，奇函数中必有f（0）=0的性质来解题，不必运用f（-x）=f（x）来分析求解．