Question

已知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，则满足条件的所有的实数a的个数是________．

Answer 1

2
分析：将绝对值符号去掉，问题转化为有且只有一个实数x使x²+2ax+3a≤2成立，利用相应二次函数可知函数y=x²+2ax+3a-2的图象与x轴相切，从而使问题得解．
解答：因为|x²+2ax+3a|≤2，即-2≤x²+2ax+3a≤2．
又因为只有一个实数x满足关于x的不等式|x²+2ax+3a|≤2，
所以有且只有一个实数x使x²+2ax+3a≤2成立．
即有且只有一个实数x使x²+2ax+3a-2≤0成立，∴可知函数y=x²+2ax+3a-2的图象与x轴相切．
所以根的判别式=4a²-4（3a-2）=0，所以a²-3a+2=0
所以a=1或2，故满足条件的实数a的个数是 2．
故答案为：2．
点评：本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三个二次之间的关系，有一定的综合性．