Question

【题目】已知椭圆 + =1两焦点分别为F1、F2 ， P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 =1，过P作两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
（1）求P点坐标；
（2）若直线AB的斜率为 ，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：c= ，则F1（0， ），F2（0，﹣ ），设P（x0，y0）

则 =（﹣x0， ﹣y0）， =（﹣x0，﹣ ﹣y0），

由 =1，得：x02﹣2+y02=1x02+y02=3

又2x02+y02=4，x0，y0＞0，

∴ ，即所求P（1， ）

（2）解：设AB方程为：y= +m，由 ，可得4x2+2 mx+m2﹣4=0，△=8m2﹣18m2+64＞0，解得﹣2 ，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2= ，x1x2= ，

|AB|= = ．P到AB的距离为d= ，

则 = = = 当且仅当m=±2∈（﹣2 ）时取得最大值．

△PAB面积的最大值为：

【解析】（1）设出P的坐标，则可分别表示出向量，通过向量的数量积，求得x0和y0的关系，同时根据椭圆的方程，求得x0和y0即P的坐标．（2）设出直线的方程联立椭圆方程，可求出AB的距离，得到直线AB的距离，利用三角形的面积公式，通过基本不等式求解最值即可．