Question

【题目】某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为公里，实线PQST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.

（1）求观光长廊PQST所在的曲线的方程；

（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置?

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）由题意知，QS的轨迹为圆的一部分，PQ的轨迹为双曲线的一部分，ST的轨迹为双曲线的一部分，分别求出对应的轨迹方程即可；

（2）由题意设点M（x，y），计算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值与对应的x、y的值．

解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，

QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，

即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；

②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，

PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，

即x＜0、y＞0时，双曲线方程为1；

③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，

ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，

即x＞0、y＜0时，双曲线方程为1；

综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；

x＜0、y＞0时，曲线方程为1；

x＞0、y＜0时，曲线方程为1；

[注]可合并为1；

（2）由题意设点M（x，y），其中1，其中x≤0，y≥0；

则|MA|2y2x2+16＝232；

当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为4；

此时y＝42；

∴点M（﹣2，2）．