Question

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；

Answer 1

分析：（1）根据折叠前后的线段长度，得出AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC，因为四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，可以证出AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）由（1）AB为四棱锥A-BCQP的高．四边形BCQP为直角梯形，利用锥体体积计算公式计算即可．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正方形ADD₁A₁中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²，所以AB⊥BC．…（2分）
因为四边形ADD₁A₁为正方形，AA₁∥BB₁，所以AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BCC₁B₁． …（7分）
（Ⅱ）解：因为AB⊥平面BCC₁B₁，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为SBCQP=

1

2

(BP+CQ)×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积VA-BCQP=

1

3

SBCQP×AB=20． …（14分）

点评：本题主要考查空间几何体体积计算，线线垂直，线面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．