Question

13．求以双曲线y²-3x²=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程．

Answer 1

分析 根据题意，将所给双曲线的方程变形可得$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，从中分析可得其焦点、顶点的坐标，进而由椭圆的几何性质，计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：y²-3x²=12，变形可得$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
分析可得其焦点在y轴上，且a²=12，b²=4，
则有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4，
即该双曲线的焦点坐标为（0，±4），顶点坐标为（0，±2$\sqrt{3}$），
又由题意，要求的椭圆以（0，±4）为顶点，（0，±2$\sqrt{3}$）为焦点，
则其a′²=16，c′2=（2$\sqrt{3}$）²=12，
故b′²=16-12=4，
则要求椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1；
故求以双曲线y²-3x²=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的方程求出焦点的坐标．