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(2007•崇明县一模)已知如图,直线l:x=-
p
2
(p>0),点F(
p
2
,0)
,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)当p=2时,曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称,求实数k满足的条件(写出关系式即可);
(3)设动点M (a,0),过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A,B,线段AB的中垂线与x轴交于点N,当|AB|≤2p时,求△NAB面积的最大值.
分析:(1)先设出点P坐标,得到点Q坐标,再代入
QP
QF
=
FP
FQ
整理即可得到动点P的轨迹C的方程;
(2)先假设存在,设出对称点A(x1,y1),B(x2,y2)以及直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,联立直线方程与抛物线方程,再结合AB中点M在直线y=kx+3上即可得到实数k满足的条件.
(3)先联立直线方程与抛物线方程,得到点A,B的坐标与a的关系并表示出线段AB的长,结合|AB|≤2p,求出a的范围;再求出线段AB的中垂线得到点N的坐标,写出△NAB面积的表达式,结合函数的单调性即可求解.
解答:解:(1)设点P坐标为P(x,y),则点Q坐标为Q(-
p
2
,y)

QP
=(x+
p
2
,0),
QF
=(p,-y),
FP
=(x-
p
2
,y),
FQ
=(-p,y)
(2分)
QP
QF
=
FP
FQ
.得:y2=2px(p>0)(4分)
(2)p=2时,y2=4x.
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0,(n为常数).
代入y2=4x得y2+4ky+4n=0
△=(4k)2-16n>0即k2-n>0(3分)
又∵AB中点M在直线y=kx+3上,
则(2k2-n,-2k)代入y=kx+3得-2k=2k3-nk+3(5分)
k2-n>0
-2k=2k3-nk+3

k2+
3
k
+2<0
.                                                     (6分)
(3)联立
y=x-a
y2=2px
⇒y2-2px-2pa=0,
∵△=4p2+8pa>0⇒a>-
p
2
(1分)
|AB|=
2
|x1-x2|=
2
|y1-y2|=
2
(2p)2+8pa
≤2p

a≤-
p
4

-
p
2
<a≤-
p
4
.                                       (2分)
AB中垂线y-p=-(x-a-p),即y=-x+a+2p
令y=0,x=a+2p
h=
|2p|
2
=
2
p
(3分)
S=
2p
2
(2p)2+8pa
×
1
2
=P
4p2+8pa
(4分)
(-
p
2
单调递增                                   (5分)
a=-
p
4
时,Smax=
2
p2
.                             (6分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长公式的应用.解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,常联立直线方程与圆锥曲线方程,再结合韦达定理,判别式等得结论.
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π
6
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π
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)
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π
6
,k∈Z}
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a
|
=3,|
b
| =2
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a
b
的夹角为60°,
c
=
a
+
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d
=
a
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c
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12
7
12
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2008
9
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