Question

对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₇（x）=x，x∈R}，则集合M=

 

．

Answer 1

分析：由f(x)=

x-1

x+1

，设f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]，代入验证知具有周期性，周期为4，因此f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，解方程x=-

x+1

x-1

，即可求得集合M．

解答：解：∵f(x)=

x-1

x+1

，f₂（x）=f[f（x）]，
∴f₂（x）=f[f（x）]=-

1

x

，f₃（x）=f[f₂（x）]=-

x+1

x-1

，
f₄（x）=f[f₃（x）]=x，f₅（x）=f[f₄（x）]=

x-1

x+1

，
因此f₂₀₀₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，
解x=-

x+1

x-1

，的x∈∅．
故答案为∅．

点评：此题是个基础题．考查函数的对应法则和周期性的，用列举法探讨对应法则的周期性，考查了创造性分析解决问题的能力．