Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）证明CD⊥AE；
（2）证明PD⊥平面ABE；

（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD，

又AC⊥CD，AC∩PA=A，

∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC，

∴CD⊥AE；

（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD∴PA⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩PA=A

∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD∴AB⊥PD，

由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．

∴AC=AB∴PA=PC

∵E是PC中点∴AE⊥PC

由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD

∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A

∴PD⊥平面ABE；

（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，

由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，

则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，

则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．

设AC=a，AD= = ，PA=A，PD= = a，

AM= = = ，

在Rt△AEM中，AE= a，EM= = = a，

则tan∠AME= = = ．

【解析】（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．