Question

若A、B是抛物线y²=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x＞2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦”。给定x₀＞2。
（1）证明：点P（x₀，0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；
（2）试问：点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设AB为点的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

则
两式相减得
因为x₁≠x₂
所以y₁+y₂≠0
设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是，则

从而AB的垂直平分线l的方程为
又点P（x₀，0）在直线上，
所以
而于是
故点P（x₀，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2；
（2）由（1）知，弦AB所在直线的方程是，代入中
整理得  （·）
则是方程（·）的两个实根，且
设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则





因为
于是设t=，则t∈（0，4x₀-8）
记
若，则
所以当，即=2（x₀-3）时，l有最大值
若，则，在区间上是减函数
所以，l不存在最大值
综上所述，当x₀>3时，点的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x₀-1）；当2<x₀≤3时，点的“相关弦”的弦长中不存在最大值。