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12.已知数列{an}的前n项和Sn,点(n,$\frac{{S}_{n}}{n}$)在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),且b3=5,其前9项和为63.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$,求数列{cn}的前n项和为Tn

分析 (1)由点(n,$\frac{{S}_{n}}{n}$)在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上,可得:$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$,即Sn=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$.利用递推关系可得:an=n.数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),可得bn+2+bn=2bn+1,利用等差数列的通项公式即可得出bn
(2)由(1)可得:cn=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+2}$,再利用“裂项求和”方法即可得出.

解答 解:(1)∵点(n,$\frac{{S}_{n}}{n}$)在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上,∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$,可得Sn=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$.
∴n=1时,a1=S1=1;n≥2时,an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$-$[\frac{1}{2}(n-1)^{2}+\frac{1}{2}(n-1)]$=n.
当n=1时也成立,∴an=n.
∵数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),∴bn+2+bn=2bn+1
∴数列{bn}是等差数列,是公差为d.
∵b3=5,其前9项和为63.
∴b1+2d=5,9b1+$\frac{9×8}{2}$d=63,
解得b1=3,d=1.
∴bn=3+(n-1)=n+2.
(2)cn=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$+$\frac{n+2}{n}$=2+$\frac{2}{n}$-$\frac{2}{n+2}$,
∴数列{cn}的前n项和Tn=2n+$(2-\frac{2}{3})$+$(1-\frac{2}{4})$+$(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})$+…+$(\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n+1})$+$(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2})$=2n+3-$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n+2}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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