Question

已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ） f（x）的定义域是（-∞，+∞），f′（x）=e^x-a．…2分
（1）当a≤0时，f'（x）＞0成立，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）； …3分
（2）当a＞0时，
令f'（x）＞0，得x＞lna，则f（x）的单调增区间是（lna，+∞）．…4分
令f'（x）＜0，得x＜lna，则f（x）的单调减区间是（-∞，lna）．…5分
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间是（lna，+∞），单调减区间是（-∞，lna）…6分
（Ⅱ）当x=0时，f（x）=1≥0成立，a∈R．…7分
当x∈（0，+∞）时，f（x）=e^x-ax≥0成立，即x＞0 时，成立．
设，…9分
所以=．…10分
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）上为减函数； …11分
x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）在x∈（1，+∞）上为增函数．…12分
则g（x）在x=1处取得最小值，g（1）=e．则a≤e．
综上所述，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0成立的a的范围是（-∞，e]．…13分
分析：（Ⅰ）先求导，结合函数的定义域，对参数a进行讨论，利用导数大于0得函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间；
（Ⅱ）当x=0时，f（x）=1≥0成立；当x∈（0，+∞）时，f（x）=e^x-ax≥0成立，分离参数可得成立．只需要求右边函数的最小值即可，构建函数，求导确定函数的单调区间，从而可得函数的最小值，由此可求参数a的范围
点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查化归转化思想和分类讨论思想，解题的关键是利用导数大于0，确定单调增区间，导数小于0，确定单调减区间，注意分离参数法在解决恒成立问题中的运用．