分析 求出抛物线的焦点坐标F(1,0),通过l⊥x轴,l与x轴不垂直,设l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与抛物线方程,利用韦达定理,求解数量积的值即可.
解答 证明:由C:y2=4x,可得F(1,0)
若l⊥x轴,则l:x=1,∴A(1,2),B(1,-2),∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1×1+2×(-2)=-3
若l与x轴不垂直,设l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2)
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{y=k(x-1)}\end{array}}\right.$消x得:ky2-4y-4k=0
∴${y_1}{y_2}=\frac{-4k}{k}=-4$从而${x_1}•{x_2}=\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}=\frac{{{{({y_1}{y_2})}^2}}}{16}=1$,
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=1-4=-3$
综上可知:$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-3$(定值)
点评 本题考查向量与圆锥曲线的综合应用,考查分类讨论以及转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力.
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A. | ?x0∈[0,+∞),使f(x0)>0 | B. | f(x)的图象过点(1,1) | ||
C. | f(x)是增函数 | D. | ?x∈R,f(-x)+f(x)=0 |
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A. | {x|-1≤x<5} | B. | {x|4<x<5} | C. | {x|1<x<5} | D. | {x|-1<x<1} |
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