Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1．
（ I ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（II）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=

3

，f（c）=0，若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的最大值和最小值；
（II）由f（C）=0，代入f（x）中，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到C的度数，根据平面向量平行时满足的条件得到sinB=2sinA，根据正弦定理得到a与b的关系式，记作①，又根据余弦定理，由c和cosC的值，得到a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

sinxcosx-

1

2

cos²x+

1

2

sin²x-1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin（2x-

π

6

）-1
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴函数f（x）的最小值时-

3

2

，最大值时0；
（II）由f（C）=0，得到sin（2C-

π

6

）-1=0，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
又∵向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（2，sinB）共线，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得：b-2a=0①，
又由余弦定理得：a²+b²-2abcosC=c²，即a²+b²-ab=3②，
联立①②，解得a=1，b=2．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域及平面向量平行时满足的条件，是一道中档题．