Question

(本小题满分13分)
已知函数的导数．a，b为实数，．
(1)   若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；
(2)   在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；
(3)   设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer 1

（1），（2）（3）2

(1) 由已知得，，由，得，．
∵，，
∴当时，，递增；
当时，， 递减．
∴在区间上的最大值为，∴．
又，，∴．
由题意得，即，得．故，为所求．
(2) 由 (1) 得，，点在曲线上．
当切点为时，切线的斜率，
∴的方程为，即．
(3) ．
∴
．  
二次函数的判别式为
，令，
得：令，得 
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，
根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．