【题目】设函数.
(1)当时,试求
的单调增区间;
(2)试求在
上的最大值;
(3)当时,求证:对于
恒成立.
【答案】(1) ;(2)详见解析; (3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)当时,
,
,当
,得
,所以
的单调增区间为
;(2)
,
,得
,讨论
,
,
,利用函数在区间
上的单调性可以求出函数
在
上的最大值;(3)当
时,设函数
,则问题转化为证明对于
,
,利用导数研究函数
在区间
的单调性,从而证明
成立,于是问题得证.
试题解析:(1)由,得
.当
时,
,令
,得
.所以
的单调增区间为
.
(2)令,得
,所以当
时,
时,
恒成立,
单调递增;当
时,
时,
恒成立,
单调递减;当
时,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增,综上,无论
为何值,当
时,
最大值都为
或
.
,
,所以当
时,
,
当时,
.
(3)令,所以
,所以
,令
,
解得,所以当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,所以当
时,
,所以函数
在
上单调递增,所以
,所以
恒成立.
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【题目】音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得分).设每次击鼓出现音乐的概率为
,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为,求
的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为
,其中装有体积为
的水(
:单位:
).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后,乙容器中含有纯酒精
(单位:
),下列关于数列
的说法正确的是( )
A. 当时,数列
有最大值
B. 设,则数列
为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选课意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果如下.
图中,课程为人文类课程,课程
为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组(以下简称“组
”).
(Ⅰ)在“组”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)某地举办自然科学营活动,学校要求:参加活动的学生只能是“组”中选择
课
程或课程的同学,并且这些同学以自愿报名缴费的方式参加活动. 选择
课程的学生中有
人参加科学营活动,每人需缴纳
元,选择
课程的学生中有
人参加该活动,每人需缴纳
元.记选择
课程和
课程的学生自愿报名人数的情况为
,参加活动的学生缴纳费用总和为
元.
①当时,写出
的所有可能取值;
②若选择课程的同学都参加科学营活动,求
元的概率.
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