Question

【题目】我们称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”；①；②.

（1）若数列的通项公式是，试判断数列是否为2014阶“期待数列”，并说明理由；

（2）若等比数列为阶“期待数列”，求公比及数列的通项公式；

（3）若一个等差数列既是（）阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）是；（2），或；（3）.

【解析】

(1)由通项公式，利用分组求和法可证明；；从而可得结论；（2）先证明，由①，得，由②得或，利用等比数列的通项公式可得结果；（3）设等差数列的公差为，，根据既是（）阶“期待数列”，求出首项与公差，利用等差数列的通项公式可得结果.

(1)∵，

所以，

∴ ，

，

所以数列为2014阶“期待数列”；

（2）若，由①得，，得，矛盾

若，则由①，得，由②得或，

所以，，数列的通项公式为或；

（3）设等差数列的公差为，，

∵，∴，即，

∵，由，得，

由①、②知，两式相减得，∴，

又，得，

∴数列的通项公式是.