Question

已知函数
（1）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）若集合A={y|y=f（x），}，B=[0，1]，试判断A与B的关系；
（3）若存在实数a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求非零实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数单调性的定义出发，给出证明．
（2）由x的范围算出f（x）的值域．再讲两个集合A和B进行比较．
（3）由前面单调性及函数特征的分析可知，0和1作为分类讨论的两个分界点分别讨论．
解答：（1）证明：f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
设x₁，x₂为[1，+∞）上任意两个实数，且1≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．
（2）解：当时，，
∴A=[0，1]=B
（3）解：由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．
①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，即a，b为方程的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的负根.，此不等式组无解．
②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，即a，b为方程的两根．
∴mx²-x+1=0有两个不等的大于1的根.，解得．
③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴，两式作差得a=b，无意义．
综上，非零实数m的取值范围为．
点评：本题考查了函数单调性的定义，并结合着函数性质对区间进行分类讨论，并求解．分类讨论在高中范围内仍是很重要的一类思想，在高考中也是经常考查到的思想．