Question

已知A，B分别是椭圆x²+4y²=4与圆x²+（y-2）²=1上的点，求AB的最大值．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：用参数方程，设出椭圆上的点A的坐标，求出点A到圆心C（0，2）的距离的最大值，从而得出AB的最大值．

解答： 解：∵A，B分别是椭圆x²+4y²=4与圆x²+（y-2）²=1上的点，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y²=1，
设椭圆上的点A（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；
则点A到圆心C（0，2）的距离为
d=

(2cosθ)2+(sinθ-2)2

=

4cos2θ+sin2θ-4sinθ+4

=

-3(sinθ+ 2 3 )2+ 28 3

，
当sinθ=-

2

3

时，d取得最大值为

28 3

=

2

3

21

，
∴AB的最大值为

2

3

21

+1．

点评：本题考查了椭圆与圆的方程以及距离的最值的应用问题，也考查了参数方程的应用问题，是中档题目．