Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P-MAC的体积．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
（Ⅲ）三棱锥P-MAC的体积，转化V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN，求出底面ACN的面积，求出高MN即可．

法二（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面MAC的一个法向量为

n

={x1，y1，z1}，
平面ABC的法向量取为

m

=（{0，0，1}）利用cosθ=

m • n

| m |•| n |

，解答即可．
（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为

n1

=（{1，0，0}），则点A到平面PCM的距离h=

| CA • n1 |

| n1 |

，求出体积即可．

解答：解法一：
（Ⅰ）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABC，
又∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PM

∥

.

CN，∴MN

∥

.

PC，从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60⁰
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos1200

=

3

；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

×

3

3

=1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×

3

2

=

3

2

；
在△MNH中，MN=tan∠MHN=

MN

NH

=

1

3 2

=

2 3

3

；
故二面角M-AC-B的平面角大小为arctan

2 3

3

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形
∴V_P-MAC=V_A-PCM=V_A-MNC=V_M-ACN=

1

3

×

1

2

AC•CN•sin1200•MN=

3

12

解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）
由题意有A(

3

2

，-

1

2

，0)，设P（0，0，z₀）（z₀＞0），
则M（0，1，z₀），

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)
由直线AM与直线PC所成的解为60°，得

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|•cos600，即z₀²=

π

2

z02+3

•z0，解得z₀=1
∴

CM

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，设平面MAC的一个法向量为

n

={x1，y1，z1}，
则

y1+z1=0 3 2 y1- 1 2 z1=0

，取x₁=1，得

n

={1，

3

，-

3

}，
平面ABC的法向量取为

m

=(0，0，1)，
设

m

与

n

所成的角为θ，则cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

- 3

7

，
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角大小为arccos

21

7

．

（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为

n1

=(1，0，0)，则点A到平面PCM的距离h=

| CA • n1 |

| n1 |

=

3

2

，
∵|

PC

|=1，|

PM

|=1，∴V_P-MAC=V_A-PCM═

1

3

×

1

2

|

PC

|•|

PM

|•h=

1

6

×1×1×

3

2

=

3

12

．

点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．