Question

已知函数f（x）=x³=ax²-4x+3（x∈R）．
（1）当a=2时求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上为减函数，求实数a的取值范围．．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）a=2时，f（x）=x³+2x²-4x+3，f′（x）=3x²+4x-4；从而求得f′（1）=3，f（1）=2；从而写出切线方程．
（2）求导f′（x）=3x²+2ax-4；从而由f（x）在区间（1，2）上单调递减可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；从而可得a≤

2

x

-

3

2

x，令h（x）=

2

x

-

3

2

x，从而化为最值问题．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=x³+2x²-4x+3，f′（x）=3x²+4x-4；
故f′（1）=3，f（1）=2；
故所求切线方程为y=3（x-1）+2，
即3x-y-1=0．
（2）∵f（x）=x³=ax²-4x+3，
∴f′（x）=3x²+2ax-4；
∵f（x）在区间（1，2）上单调递减，
∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；
即3x²+2ax-4≤0，
即a≤

2

x

-

3

2

x，令h（x）=

2

x

-

3

2

x，
又由h_min（x）=h（2）=-2；
故a≤-2；
故实数a的取值范围为（-∞，-2]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法应用，属于中档题．