Question

（2011•黑龙江一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求点C到平面BEC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）取BC₁的中点为R，连接RE，RF，说明四边形AFRE为平行四边形，推出AF∥RE，即AF∥平面REC₁．
（2）由等体积法得VC-BEC1=VE-BCC1，求出S△BCC1，S△BEC1，即可直接求点C到平面BEC₁的距离．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）证明：取BC₁的中点为R，连接RE，RF，
则RF∥CC₁，AE∥CC₁，且AE=RF，
所以四边形AFRE为平行四边形，
则AF∥RE，即AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）由等体积法得VC-BEC1=VE-BCC1，
S△BCC1=

1

2

BC•CC1=

1

2

×2×4=4，
AF=

3

，
VE-BCC1=

1

3

S△BCC1•RE=

4 3

3

，BE=2

2

，EC₁=2

2

，BC₁=2

5

；
S△BEC1=

1

2

×2

5

×

(2 2 )2-( 5 )2

=

15

，
则

1

3

S△BEC1•h=

1

3

S△BCC1•RE，

1

3

×

15

h=

4 3

3

．
得h=

4

5

5

．…（12分）

点评：本题是中档题，考查空间几何体的点到平面的距离，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力，计算能力．