Question

已知函数f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e^3x-3ae^xx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；
（Ⅲ）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x₀=m+n．问：函数F（x）在点（x₀，F（x₀））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min由此即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1＜a≤2

2

，利用换元法令t=e^x，则t∈[1，2]，则h（t）=t³-3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；
（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx结合题意，列出方程组，证得函数y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，g′(x)=

1

x

+2x-a
由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min
又∵x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立
∴(2x+

1

x

)min=2

2

，可得a≤2

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1＜a≤2

2

，令t=e^x，则t∈[1，2]，则
h（t）=t³-3at，h′(t)=3t2-3a=3(t+

a

)(t-

a

)
由h′（t）=0，得t=

a

或t=-

a

（舍去），
∵1＜a≤2

2

，∴

a

∈(1，

4	8

]
若1＜t≤

a

，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若

a

＜t≤2，则h′（t）＞0，h（t）单调递增
∴当t=

a

时，h（t）取得极小值，极小值为h(

a

)=a

a

-3a

a

=-2a

a

（Ⅲ）设F（x）在（x₀，F（x₀））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有

2lnm-m2-km=0① 2lnn-n2-kn=0② m+n=2x0③ 2 x0 -2x0-k=0④

①-②得2ln

m

n

-(m+n)(m-n)=k(m-n)
所以k=

2ln m n

m-n

-2x0，由④得k=

2

x0

-2x0
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
设u=

m

n

∈(0，1)，⑤式变为lnu-

2(u-1)

u+1

=0(u∈(0，1))
设y=lnu-

2(u-1)

u+1

(u∈(0，1))，y′=

1

u

-

2(u+1)-2(u-1)

(u+1)2

=

(u+1)2-4u

u(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0
所以函数y=lnu-

2(u-1)

u+1

在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2(u-1)

u+1

＜0，也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式与⑤矛盾
所以F（x）在（x₀，F（x₀））的切线不能平行于x轴

点评：此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．