已知函数f(x)=lnx+x2.
(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a>1,h(x)=e3x-3aexx∈[0,ln2],求h(x)的极小值;
(Ⅲ)设F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函数F(x)存在两个零点m,n(0<m<n),且2x0=m+n.问:函数F(x)在点(x0,F(x0))处的切线能否平行于x轴?若能,求出该切线方程;若不能,请说明理由.
分析:(Ⅰ)先根据题意写出:g(x)再求导数,由题意知,g′(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立,即
a≤(2x+)min由此即可求得实数a的取值范围;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1<a≤2,利用换元法令t=e
x,则t∈[1,2],则h(t)=t
3-3at,接下来利用导数研究此函数的单调性,从而得出h(x)的极小值;
(Ⅲ)对于能否问题,可先假设能,即设F(x)在(x
0,F(x
0))的切线平行于x轴,其中F(x)=2lnx-x
2-kx结合题意,列出方程组,证得函数
y=lnu-在(0,1)上单调递增,最后出现矛盾,说明假设不成立,即切线不能否平行于x轴.
解答:解:(Ⅰ)g(x)=f(x)-ax=lnx+x
2-ax,
g′(x)=+2x-a由题意知,g′(x)≥0,对任意的x∈(0,+∞)恒成立,即
a≤(2x+)min又∵x>0,
2x+≥2,当且仅当
x=时等号成立
∴
(2x+)min=2,可得
a≤2(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
1<a≤2,令t=e
x,则t∈[1,2],则
h(t)=t
3-3at,
h′(t)=3t2-3a=3(t+)(t-)由h′(t)=0,得
t=或
t=-(舍去),
∵
1<a≤2,∴
∈(1,]若
1<t≤,则h′(t)<0,h(t)单调递减;若
<t≤2,则h′(t)>0,h(t)单调递增
∴当
t=时,h(t)取得极小值,极小值为
h()=a-3a=-2a(Ⅲ)设F(x)在(x
0,F(x
0))的切线平行于x轴,其中F(x)=2lnx-x
2-kx
结合题意,有
| 2lnm-m2-km=0① | 2lnn-n2-kn=0② | m+n=2x0③ | -2x0-k=0④ |
| |
①-②得
2ln-(m+n)(m-n)=k(m-n)所以
k=-2x0,由④得
k=-2x0所以
ln==⑤设
u=∈(0,1),⑤式变为
lnu-=0(u∈(0,1))设
y=lnu-(u∈(0,1)),
y′=-==>0所以函数
y=lnu-在(0,1)上单调递增,
因此,y<y|
u=1=0,即
lnu-<0,也就是
ln<此式与⑤矛盾
所以F(x)在(x
0,F(x
0))的切线不能平行于x轴
点评:此题是个难题.本题主要考查用导数法研究函数的单调性,基本思路是:当函数为增函数时,导数大于等于零;当函数为减函数时,导数小于等于零,根据解题要求选择是否分离变量,体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法,同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.