Question

（2012•广东模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是该三角形的面积．
（1）若

a

=(2sin

B

2

cosB，sinB-cosB)，

b

=(sinB+cosB，2sin

B

2

)，

a

∥

b

，求角B的度数；
（2）若a=8，B=

2π

3

，S=8

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及两向量平行，根据平面向量的数量积法则列出关系式，再利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数求出sinB的值，再由a，已知三角形的面积S，利用三角形的面积公式求出c的值，再由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）∵

a

=(2sin

B

2

cosB，sinB-cosB)，

b

=(sinB+cosB，2sin

B

2

)，

a

∥

b

，
∴4cosB•sin²

B

2

+cos2B=0，
∴4cosB•

1-cosB

2

+2cos²B-1=0，
∴cosB=

1

2

，
∵∠B∈（0，180°），
∴∠B=60°；…（6分）
（2）∵S=8

3

，
∴

1

2

acsinB=8

3

，…（7分）
又a=8，B=

2π

3

，
∴c=4，…（8分）
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=8²+4²-2•8•4cos120°=112，…（10分）
则b=4

7

．…（12分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，余弦定理，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．