Question

如图1₁，1₂，1₃是同一平面内的三条平行直线，1₁与1₂间的距离是2，1₂与l₃间的距离是4．三角形ABC的三个顶点分别在l₁、l₂、l₃上，且三边AB，BC，AC的长之比为1：2：

3

则△ABC的边长AC是（　　）

• A．4
• B．2

  3

• C．4

  3

• D．2

  6

Answer 1

分析：由题意可设三边长度分别为AB=x，BC=2x，AC=

3

x，（x＞0），设AC与l₂的交点为E，由条件易得∠ABC=90°，设∠ABE=θ，则∠CBE=60°-θ，则可得sinθ=sin（60°-θ），则有θ=30°，从而可求AE，EC，在Rt△ABE中，由三角形的面积公式可得，AB•AE=2BE，代入可求x，进而可求AC

解答：解：由题意可设三边长度分别为AB=x，BC=2x，AC=

3

x，（x＞0），设AC与l₂的交点为E
∵AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC即°∠ABC=90，且∠ACB=30°，∠ABC=60°
设∠ABE=θ，∠CBE=60°-θ
又∵sinθ=

2

x

，sin(60°-θ)=

4

2x

=

2

x

∴sinθ=sin（60°-θ），则有θ=30°
∴AE=

1

3

AC=

3

3

x，EC=

2 3

3

x=BE
在Rt△ABE中，由三角形的面积公式可得，AB•AE=2BE
即x•

3

3

x=2•

2 3

3

x
∴x=4，AC=4

3

故选C．

点评：本题考查直角三角形中的边角关系，两角差的正弦公式的应用，以及求两平行线间的距离的方法．