Question

（2013•宜宾二模）如图，轴截面为边长为4

3

等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为

π

6

，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：设轴截面为SEF，椭圆中心为0、长轴为FH，延长S0交EF于点B，取SB中点G，连结GH．设OC是椭圆的短半轴，延长SC交底面圆于点A，连结AB．根据正△SEF中∠HFE=

1

2

∠SEF得FH⊥SE，算出FH=6，即椭圆的长轴2a=6．利用△SBE的中位线和△OBF≌△OGH，算出BF=

1

3

EF=

4 3

3

，从而在底面圆中算出AB=

4 6

3

，进而在△SAB中，利用平行线分线段成比例，得OC=

3

4

AB=

6

，即椭圆短半轴b=

6

．最后由椭圆的平方关系算出c=

3

，从而可得该椭圆的离心率．

解答：解：设圆锥的顶点为S，轴截面为SEF，过F的一平面α与底面所成角为

π

6

，α与母线SE交于点H，
α与圆锥侧面相交所得的椭圆中心设为0，延长S0交EF于点B，取SB中点G，连结GH
设OC是椭圆的短半轴，则OC⊥平面SEF，延长SC交底面圆于点A，连结AB
∵△SEF是等边三角形，∠HFE就是α与底面所成角
∴由∠HFE=

π

6

=

1

2

∠SEF，得FH⊥SE
Rt△EFH中，FH=EFcos

π

6

=4

3

×

3

2

=6，即椭圆的长轴2a=6
∵GH是△SBE的中位线，得GH

∥

.

1

2

BE
∴结合△OBF≌△OGH，得BF=GH=

1

2

BE，可得BF=

1

3

EF=

4 3

3

设M为底面圆的圆心，则可得BM=

1

6

EF=

2 3

3

∴⊙M中，可得AB=

AM2-BM2

=

(2 3 )2-( 2 3 3 )2

=

4 6

3

∵△SAB中，OC∥AB且

SO

SB

=

3

4

∴

OC

AB

=

SO

SB

=

3

4

，可得OC=

3

4

AB=

6

，椭圆的短半轴b=

6

因此，椭圆的半焦距c=

a2-b2

=

3

，椭圆的离心率e=

c

a

=

3

3

故选：C

点评：本题给出圆锥的轴截面为正三角形，求与底面成30度角的平面截圆锥的侧面所得椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质、圆锥的几何性质和平面几何有关计算等知识，属于中档题．