Question

设经过点（-4，0）的直线l与抛物线y=

1

2

x²的两个交点为A，B，经过A，B两点分别作抛物线的切线，若两切线互相垂直，则直线l的斜率为多少？

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,抛物线的简单性质

专题：导数的综合应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对抛物线y=

1

2

x2，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=

1

2

x2得：x²-2kx-8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率．

解答： 解：对抛物线y=

1

2

x2，y′=x，
l的方程是y=k（x+4），代入y=

1

2

x2得：x²-2kx-8k=0，
设两个切点是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若PA与PB垂直，
则x₁•x₂=-8k=-1，
∴k=

1

8

，
即直线l的斜率为

1

8

．

点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．