Question

已知命题p：方程（2x-a）（x+a）=0的两个根都在[-1，1]上；命题q：对任意实数x，不等式x²+2ax+2a≥0恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题“p∧q”是真命题，求a的取值范围．

解答：解：由（2x-a）（x+a）=0得x=

a

2

或x=-a，
∴当命题p为真命题时，-1≤

a

2

≤1且-1≤-a≤1，
解得-2≤a≤2且-1≤-a≤1，
∴-1≤a≤1，即p：-1≤-a≤1．
又当命题q为真命题时，“对任意实数x，不等式x²+2ax+2a≥0恒成立”
即抛物线y=x²+2ax+2a图象在x轴上方或者与x轴只有一个交点，
∴△=4a²-8a≤0，
∴0≤a≤2，即q：0≤a≤2．
若命题“p∧q”是真命题，则p为真命题且q为真命题，
∴0≤a≤1，即a的取值范围是[0，1]．

点评：本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键．