Question

已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
（1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（2）若点E为PC的中点，求证PA∥平面BDE；
（3）求由点A绕四棱锥P-ABCD的侧面一周回到点A的最短距离．

Answer 1

分析：（1）由ABCD是正方形可得BD⊥AC，由PC⊥底面ABCD可得BD⊥PC，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，进而由线面垂直的性质得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE
（2）连接AC交BD于F，连接EF，由中位线定理及线面平行的判定定理可证得PA∥平面BDE；
（3）（3）将四棱锥的侧面沿PA展开，将空间问题转化为平面上两点之间线段最短，解△PAA′可得答案．

解答：解：（1）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明如下：连接AC，
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD
∴BD⊥PC  …（2分）
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC　    …（3分）
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE      …（4分）
证明：（2）连接AC交BD于F，连接EF，则点F为BD的中点，
又点E为PC的中点，
∴EF∥PA，
又EF?平面BDE，
∴PA∥平面BDE…（9分）
（3）将四棱锥的侧面沿PA展开，如图示，则AA′即为所求．
在Rt△PCD中，sin∠DPC=

1

5

，cos∠DPC=

2

5

；
在Rt△ADP中，sin∠APD=

1

6

，cos∠APD=

5

6

；sin∠APC=sin(∠DPC+∠APD)=

1

5

•

5

6

+

2

5

•

1

6

=

5 +2

30

；…（12分）
∴AA′=2PA•sin∠APC=2

6

•

( 5 +2)

30

=

10+4 5

5

；…（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及判定定理，直线与平面平行的判定定理，多面体表面上的最短距离问题，是立体几何线面关系及转化思想的综合应用，难度中档．