Question

10．已知函数$f（x）=\frac{1-sin2x}{sinx-cosx}$
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），利用周期公式即可得解．
（2）通过正弦函数的最值，求出函数的最大值，以及函数取得最大值时的x的集合．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1-sin2x}{sinx-cosx}$=$\frac{（sinx-cosx）^{2}}{sinx-cosx}$=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴当x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z时，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$，
∴f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，此时x的集合是：{x|x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换及周期公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．