Question

已知函数f（x）=x²-2x+5，若存在一个实数x₀，使不等式f（x₀）-m＜0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：将不等式f（x₀）-m＜0变形为m＞f（x₀），若存在一个实数x₀，使不等式m＞f（x₀）成立，只需m＞f（x）_min，然后利用二次函数的性质可求出f（x）的最大值，解出m的取值范围．

解答：解：将不等式f（x₀）-m＜0变形为m＞f（x₀），
∵存在一个实数x₀，使不等式f（x₀）-m＜0成立，
∴m＞f（x）_min，
∵f（x）=x²-2x+5=（x-1）²+4，
∴f（x）_min=4，
∴m＞4．
故所求实数m的取值范围是（4，+∞）．

点评：本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，运用了等价转化的数学思想．对于存在性的问题，一般会选择转化成恒成立进行求解，而恒成立问题一般选用参变量分离的方法，转化成函数的最值问题．属于中档题．