Question

9．设函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a，b为实常数）．
（1）当a=b=1时，证明：函数f（x）不是奇函数；
（2）设函数f（x）是实数集R上的奇函数，求a与b的值；
（3）当f（x）为奇函数时，设其定义域为A，是否存在同时满足下列两个条件的区间D：（1）D⊆A，（2）对任何x∈D，c∈D，都有f（x）＜c²-3c+3成立？若存在，求出这样的区间D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）举出反例即可，只要检验f（-1）≠-f（1），可说明f（x）不是奇函数；
（2）由题意可得f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$对定义域内任意实数x成立．整理可求a，b
（3）当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，由指数函数的性质可求f（x），由二次函数的性质可求c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，当$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$（x≠0），当x＞0时，f（x）＜-$\frac{1}{2}$；当x＜0时，f（x）＞$\frac{1}{2}$结合二次函数的性质可求c²-3c+3的范围，即可求解．

解答 （1）证明：当a=b=1时，f（1）=-$\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{1}{4}$
所以f（-1）≠-f（1），
所以f（x）不是奇函数；（4分）
（2）解：f（x）是奇函数时，f（-x）=-f（x），即$\frac{-{2}^{-x}+1}{{2}^{-x+1}+b}$=-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$对定义域内任意实数x成立．（1分）
化简整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．     
经检验都符合题意．（3分）
（3）解：当$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，
因为2^x＞0，
所以2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，从而-$\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$；（2分）
而c²-3c+3=（c-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$对任何实数c成立；
所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（3分）
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$时，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$（x≠0），
所以当x＞0时，f（x）＜-$\frac{1}{2}$；当x＜0时，f（x）＞$\frac{1}{2}$； （2分）
①因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c²-3c+3成立．（1分）
②当c＜0时，c²-3c+3＞3，解不等式-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{1-{2}^{x}}$≤3得：x≤$lo{g}_{2}\frac{5}{7}$．
所以取D=（-∞，$lo{g}_{2}\frac{5}{7}$]，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c²-3c+3成立． （2分）

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的判断，及奇函数性质的应用，指数函数、二次函数性质的综合应用是解答本题的关键