【题目】对于数列
，若满足
，则称数列
为“0-1数列”．定义变换
，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如:1,0,1，则
设
是“0-1数列”，令
3，…．
（Ⅰ） 若数列
：
求数列
；
（Ⅱ） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若为0，1，记数列
中连续两项都是0的数对个数为
，
．求关于
的表达式．
【答案】(Ⅰ) 
；
；
(Ⅱ) 10对 ；见详解；
(Ⅲ) 
【解析】
试题（Ⅰ）由变换
的定义“将“
数列”
中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．”直接可得数列
；（Ⅱ）数列
中连续两项相等的数对至少有10对，对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在
中对应连续四项1，0，0，1，在中每一个0在中对应的连续四项为0，1，1，0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对； （Ⅲ）设
中有
个01数对，
中的00数对只能由中的
数对得到，所以
，中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，讨论
的奇偶可求出所求．
试题解析：解：（Ⅰ）由变换的定义可得
（Ⅱ） 数列中连续两项相等的数对至少有10对
证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
所以中至少有10对连续相等的数对．
（Ⅲ） 设中有个01数对，
中的00数对只能由中的01数对得到，所以，
中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，
由变换的定义及
可得中0和1的个数总相等，且共有
个，
所以
，
所以
，
由可得
，
所以
，
当
时，
若为偶数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
若为奇数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
所以
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【题目】已知椭圆
：
的一个焦点为
，离心率为
.
（1）求的标准方程；
（2）若动点
为外一点，且到的两条切线相互垂直，求的轨迹
的方程；
（3）设的另一个焦点为
，自直线
：
上任意一点
引（2）所求轨迹的一条切线，切点为
，求证：
.
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【题目】设
，
，
是三个不同平面，
，
是两条不同直线，有下列三个条件：（1）
，
；（2），
；（3），
.如果命题“
，
，且__________，则
”为真命题，则可以在横线处填入的条件是__________（把所有正确的序号填上）.
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【题目】根据有关资料预测，某市下月1—14日的空气质量指数趋势如下图所示.，根据已知折线图，解答下面的问题：
（1）求污染指数的众数及前五天污染指数的平均值；（保留整数）
（2）为了更好发挥空气质量监测服务人民的目的，监测部门在发布空气质量指数的同时，也给出了出行建议，比如空气污染指数大于150时需要戴口罩，超过200时建议减少外出活动等等.如果某人事先没有注意到空气质量预报，而在1—12号这12天中随机选定一天，欲在接下来的两天中（不含选定当天）进行外出活动.求其外出活动的两天期间.
①恰好都遭遇重度及以上污染天气的概率；
②至少有一天能避开重度及以上污染天气的概率.
附：空气质量等级参考表：
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等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
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【题目】设椭圆
的一个焦点为
，四条直线
，
所围成的区域面积为
.
（1）求
的方程；
（2）设过
的直线
与交于不同的两点
，设弦
的中点为
，且
（
为原点），求直线的方程.
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【题目】
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素
；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
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【题目】某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为
，高为
，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I圆柱和第II圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II圆柱上下底面圆的内接正方形.
（1）当
时，若第I圆柱和第II圆柱的体积相等，求该手王作品的体积；
（2）对于给定的和
，求手工作品体积的最大值.
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【题目】圆周率
是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有
个人说“能”，而有
个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率的近似值为（）
A. 
B. 
C. 
D. 
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