Question

设函数f(x)=|x²-4x-5|.

(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图象；

(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；

(3)当k＞2时，证明在区间［-1,5］上，y=kx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.

Answer 1

(1)解：

(2)解：方程f(x)=5的解分别是2-，0,4和2+，由于f(x)在(-∞,-1)和［2,5］上单调递减，在［-1，2］和［5,+∞)上单调递增，因此A=(-∞,2-)∪［0,4］∪［2+,+∞).

    由于2+＜6,2-＞-2,

    ∴BA.

(3)证法一：当x∈［-1,5］时，f(x)=-x²+4x+5,

    g(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)

    =x²+(k-4)x+(3k-5)

    =(x-)²-,

    ∵k＞2,∴＜1.

    又-1≤x≤5,

    ①当-1≤＜1,即2＜k≤6时，取x=,g(x)_min=-=-［(k-10)²-64］.

    ∵16≤(k-10)²＜64,∴(k-10)²-64＜0.则g(x)_min＞0.

    ②当＜-1,即k＞6时，取x=-1,g(x)_min=2k＞0.

    由①②,可知当k＞2时，g(x)＞0,x∈［-1,5］.

    因此，在区间［-1,5］上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)图象的上方.

    证法二：当x∈［-1,5］时，f(x)=-x²+4x+5.

    由得x²+(k-4)x+(3k-5)=0.

    令Δ=(k-4)²-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18.

    在区间［-1,5］上，当k=2时，y=2(x+3)的图象与函数f(x)的图象只交于一点(1,8)；当k=18时，y=18(x+3)的图象与函数f(x)的图象没有交点.

    由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k＞2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到的.因此，在区间［-1,5］上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)图象的上方.