Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，M，N分别是，的中点，且.

（1）求的长度；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先由题意得到，建立空间直角坐标系，设，根据，用向量的方法，即可求出结果；

（2）由（1）的结果，用向量的方法求出平面的一个法向量，以及平面的一个法向量，由向量夹角公式，求出两法向量的夹角余弦值，即可得出结果.

（1）在中，，，

则，所以.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，，，

所以，.

因为，

所以，

解得，即的长为.

（2）由（1）知，，

由N是的中点，得.

所以，.

设平面的法向量，

由，，

得取.

又，，

设平面的法向量，

由，，

得取.

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则.

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.