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如图,已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6,|FG|=10,且(G为动点,P是HP和GF的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C,证明|OC|<(O为EF的中点).

【答案】分析:(Ⅰ)以EF所在的直线为x轴,EF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.由题设,|PG|=|PE|,而|PF|+|PE|=|PG|=2a.由此能求出点P的轨迹方程.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,0).(x1-x2+y12=(x2-x2+y22.由A、B在轨迹上,知.由此入手能够证明|OC|<
解答:解:(Ⅰ)以EF所在的直线为x轴,EF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.
由题设
∴|PG|=|PE|,而|PF|+|PE|=|PG|=2a.
∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点P的轨迹方程是.…(4分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,0).
∴x1≠x2,且|CA|=|CB|,即(x1-x2+y12=(x2-x2+y22
又A、B在轨迹上,∴

代入整理,得
∵x1≠x2,∴
∵-5≤x1≤5,-5≤x2≤5,∴-10≤x1+x2≤10.
∵x1≠x2,∴-10<x1+x2<10.
,即|OC|<.…(13分)
点评:本题考查建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程,证明|OC|<.解题时要认真审题,恰当地建立平面直角坐标系,灵活运用圆锥曲线的性质,合理地进行等价转化.
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