【题目】已知椭圆的中心在原点,短轴长为
,点
在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点,
为弦
中点,求点
的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的短轴长可求出的值,将点
代入到椭圆方程可得
的值,进而可得椭圆的标准方程;(2)设弦所在直线的方程为
,A点坐标为
,B点坐标为
,弦的中点坐标为
,联立直线与椭圆的方程,运用韦达定理和中点坐标公式得
,代入直线得
,故而得到
满足的关系式,结合点在椭圆内得到
的范围,从而得最后结果.
试题解析:(1)依题意, ,则设椭圆方程为
;
因为椭圆过,所以
,即
,
所以椭圆方程为.
(2)依题意,设斜率为的弦所在直线的方程为
,A点坐标为
,B点坐标为
,弦的中点坐标为
,则
消去
,得
, ∴
,即
,
, 两式消掉
,得
;又弦的中点在椭圆内部,所以
;故平行弦中点轨迹方程为:
.
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【题目】椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径,平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段,称为该直径的共轭直径,已知椭圆的方程为
.
(1)若一条直径的斜率为,求该直径的共轭直径所在的直线方程;
(2)若椭圆的两条共轭直径为和
,它们的斜率分别为
,证明:四边形
的面积为定值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C经过点A(1,3) ,B(4,2),且圆心在直线l:x-y-1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设P是圆D:x2+y2+8x-2y+16=0上任意一点,过点P作圆C的两条切线PM,PN,M,N为切点,试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标.
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【题目】已知直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+3=0,A、B两点极坐标分别为(1,π)、(1,0).
(1)求曲线C的参数方程;
(2)在曲线C上取一点P,求|AP|2+|BP|2的最值.
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【题目】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男 | 女 | 总计 | |
爱好 | 40 | 20 | 60 |
不爱好 | 20 | 30 | 50 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
由 算得,
.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
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【题目】某服装厂生产一种服装,每件服装成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,规定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低元,根据市场调查,销售商一次订购不会超过600件.
(1)设一次订购件,服装的实际出厂单价为
元,写出函数
的表达式;
(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?
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【题目】在 中,
所对的边分别为
,且
.
(1)求角的大小;
(2)若,
,
为
的中点,求
的长.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)由已知,利用正弦定理可得a2=
b2+
c2-2b,再利用余弦定理即可得出cosA,结合A的范围即可得解A的值.
(2)△ABC中,先由正弦定理求得AC的值,再由余弦定理求得AB的值,△ABD中,由余弦定理求得BD的值.
试题解析:
(1)因为asin A=(
b-c)sin B+(
c-b)·sin C,
由正弦定理得a2=(
b-c)b+(
c-b)c,
整理得a2=
c2-2bc,
由余弦定理得cos A==
=
,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由cos B=,得sin B=
=
=
,
所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-=-
,
由正弦定理得b==
=2,
所以CD=AC=1,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=()2+12-2×1×
×
=13,
所以BD=.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数在
处的切线经过点
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式恒成立,求实数
的取值范围.
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