Question

3．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．可得${S}_{2}^{2}$=S₁•S₄，即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，解得：a₁．即可得出．
（2）b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$=$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$•$sin\frac{（2n-1）π}{2}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，对n分为奇数偶数分组求和即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
∴${S}_{2}^{2}$=S₁•S₄，即$（2{a}_{1}+2）^{2}$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}×2）$，化为：a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$•sin$\frac{{a}_{n}π}{2}$=$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$•$sin\frac{（2n-1）π}{2}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴n为偶数时，数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
n为奇数时，数列{b_n}的前n项和为T_n=$（1+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组与“裂项求和”方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．