Question

如图，四棱锥P-ABCD中，已知△PDA和△PDC都是正三角形，AD=2，AB=

2

，∠ADC=∠BAC=90°，M是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DC中点E，连接ME、BE、DB，利用三角形中位线的性质，可得EM∥PD，从而可得EM∥平面PAD，再证明BE∥面PAD，可得平面BEM∥平面PAD，利用面面平行的性质，可得BM∥平面PAD；
（2）取AD中点F，连接PF，PE，过F做DC的平行线交BE于点H，证明PH⊥面ABCD，可得∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成的平面角，从而可得直线PB与平面ABCD所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：取DC中点E，连接ME、BE、DB

∵M是PC的中点，EM是三角形PDC中位线
∴EM∥PD
∵EM?平面PAD，PD?平面PAD
∴EM∥平面PAD．
在△ADB中，AD=2，AB=

2

，∠BAD=135°，根据余弦定理得出BD=

10

∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=

2

，AC=2

2

，∴BC=

10

∴△DBC是等腰三角形，∴BE⊥DC
∵AD⊥DC，∴AD∥BE
∵BE?平面PAD，AD?平面PAD
∴BE∥面PAD
又∵BE∩EM=E且BE，EM?平面BEM
∴平面BEM∥平面PAD
∵BM?平面BEM，
∴BM∥平面PAD；
（2）解：取AD中点F，连接PF，PE，过F做DC的平行线交BE于点H，则AD⊥平面PFH
∵AD∥BE，∴BE⊥平面PFH
∵PH?平面PFH，∴PH⊥BE
∵PE⊥CD，BE⊥CD，PE∩BE=E
∴CD⊥平面PBE
∵PH?平面PBE
∴CD⊥PH
∵BE∩CD=E
∴PH⊥面ABCD
∴∠PBH就是直线PB与平面ABCD所成的平面角
∵BE=

10-1

=3，EH=1，∴BH=2
∵PH=

3-1

=

2

∴tan∠PBH=

PH

BH

=

2

2

即直线PB与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查线面平行、面面平行，考查线面角，正确运用线面平行的判定，作出线面角是关键．