Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且

PM

=2

MQ

，点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(0，-

4

17

)且平行于x轴的直线上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，然后得出的坐标代入方程，化简即可求出轨迹C的方程．
（2）设出直线l的方程，以及与椭圆的交点坐标，将直线方程代入已知C的方程，联立并化简，根据根的判别式计算

解答：解：（1）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，

PM

=2

MQ

，所以点P的坐标为（x，3y） （2分）
点P在椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上，所以

x2

4

+

(3y)2

9

=1，因此曲线C的方程是

x2

4

+y2=1…（5分）
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件
所以设直线l的方程为y=kx-2与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N点所在直线方程为y=-

4

17

，由

y=kx-2 x2 4 +y2=1

得(1+4k2)x2-16kx+12=0x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

，…（6分）
由△=162k2-48(1+4k2)＞0得k2＞

3

4

，即k＞

3

2

或k＜-

3

2

，…（8分）
因为

ON

=

OA

+

OB

，所以四边形OANB为平行四边形，…（10分）
假设存在矩形OANB，则

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
所以(1+k2)•

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，即k2=4，k=±2，…（12分）
设N（x₀，y₀），由

ON

=

OA

+

OB

，得y0=y1+y2=k(x1+x2)-4=

16k2

1+4k2

-4=

-4

1+4k2

=-

4

17

，
即N点在直线y=-

4

17

，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为y=±2x-2…（15分）

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用以及轨迹方程的应用，通过对圆锥曲线知识的综合运用，考查学生的能力，属于中档题．