Question

设a＞0，0≤x＜2π，若函数y=cos²x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求使y取得最大值和最小值时的x值．

Answer 1

分析：通过同角三角函数的平方关系进行化简，然后进行配方法，对a分类0＜a≤2，a＞2讨论，结合函数的最值，求出a，b的值，从而得到解析式，最后求出相应最值时的x的值即可．

解答：解：f（x）=y=cos²x-asinx+b=-sin²x-asinx+b+1=-(sinx+

a

2

)2+

a2

4

+b+1
因为a＞0所以-

a

2

＜0，
（ⅰ）当-1≤-

a

2

＜0，即0＜a≤2时y_max=f(-

a

2

)=

a2

4

+b+1=0①y_min=f（1）=b-a=-4②
由①②解得

a=2 b=-2

或

a=-6 b=-10

（舍去）
（ⅱ）当-

a

2

＜-1，即a＞2时y_max=f（-1）=a+b=0③y_min=f（1）=b-a=-4④
由③④解得

a=2 b=-2

（舍去）
综上，

a=2 b=-2

∴f（x）=cos²x-2sinx-2=-（sinx+1）²
当x=

π

2

时，y取得最小值；当x=

3π

2

时，y取得最大值

点评：本题主要考查了三角函数的最值，以及同角三角函数的关系和配方法，同时考查了分类讨论的数学思想．