Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-

π

3

，

π

6

]上的最大值和最小值，并求出相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的诱导公式和二倍角的正弦公式，化简得f（x）=sin2x，得f（x）最小正周期T=π；
（2）因为x∈[-

π

3

，

π

6

]时，可得2x∈[-

2π

3

，

π

3

]，结合正弦函数的图象与单调性，可得函数f（x）的最大、最小值及相应的x值．

解答：解：（1）∵sin（π-x）=sinx，∴f（x）=2sin（π-x）cosx=2sinxcosx
可得f（x）=sin2x，函数的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

6

]，可得2x∈[-

2π

3

，

π

3

]
∴当2x=-

π

2

时，f（x）最小值为-1，相应的x=-

π

4

；
当2x=

π

3

时，f（x）最大值为

3

2

，相应的x=

π

6

综上所述，f（x）在区间[-

π

3

，

π

6

]上的最大值为f（

π

6

）=

3

2

，最小值为f（-

π

4

）=-1．

点评：本题将三角函数式化简，并求函数的周期与闭区间上的最值．着重考查了三角式的化简和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．