Question

已知数列

an

的前n项和为S_n，且S_n=1-a_n （n∈N^*）
（I ）求数列

an

的通项公式；
（Ⅱ）已知数列

bn

的通项公式b_n=2n-1，记c_n=a_nb_n，求数列

cn

的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由递推式求出a₁，然后把n≥2时，a_n=S_n-S_n-1代入递推式求通项公式；
（Ⅱ）把求得的a_n的通项公式和给出的b_n的通项公式代入c_n=a_nb_n，运用错位相减法求数列

cn

的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=1-a₁，∴a1=

1

2

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-1+a_n-1，
即2a_n=a_n-1，∴

an

an-1

=

1

2

．
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴an=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（Ⅱ）c∵cn=(2n-1)

1

2n

，
∴Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+…+(2n-1)×

1

2n

   ①

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

23

+…+(2n-1)×

1

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

2

2n

-(2n-1)×

1

2n+1

，

1

2

Tn=

1

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)×

1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

 (n∈N*)．

点评：本题主要考查数列求和的错位相减法、等比数列的通项公式．考查学生的运算能力，此题是中档题．