Question

14．已知点O为直线l外任一点，点A、B、C都在直线l上，且$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，则实数t=-2．

Answer 1

分析 法1：利用三点共线，利用共线定理进行求解．
法2：直接利用三点共线的结论，若A，B，C三点共线，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则x+y=1．

解答 解：法1：∵点A、B、C都在直线l上，
∴存在实数x，满足$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}$，
即$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=x（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），
即$\overrightarrow{OC}$=（1+x）$\overrightarrow{OA}$-x$\overrightarrow{OB}$，
∵$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，
∴1+x=3且-x=t，
解得x=2，t=-2，
法2：直接利用三点共线的结论，
∵点O为直线l外任一点，点A、B、C都在直线l上，
∴若$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，则3+t=1，
解得t=-2，
故答案为：-2

点评 本题主要考查三点共线的应用，利用向量的基本定理或者三点共线的结论是解决本题的关键．