Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=2ln（x﹣2）﹣a（x﹣2）2
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个相异零点x1 ， x2 ， 求证x1x2+4＞2（x1+x2）+e（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（2，+∞），

，…

①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（2，+∞）上单调递增，…

②当a＞0时，令 ，解得 ，

x∈（2，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在（2，x0）单调递增，

x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）单调递减，

综上所述，当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，

当a＞0时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减；…

（Ⅱ）要证：x1x2+4＞2（x1+x2）+e，则证（x1﹣2）（x2﹣2）＞e，

即证|2x+3|+|2x﹣1|≤5，不妨设 ，

∵﹣4x﹣2≤5， 是函数 的零点，

则4≤5， ，所以 ，4x+2≤5，

所以 ， ，

则 ，

则转化为证：y=f（x），令|m﹣2|＞4，则m＞6，

于是即证：m＜﹣2，可化为（t2+1）lnt＞t2﹣1，

即证（t2+1）lnt﹣t2+1＞0，…

构造函数g（t）=（t2+1）lnt﹣t2+1（t＞1），

，

令z（t）=2t2lnt+1﹣t2（t＞1），则z'（t）=4tlnt＞0，

则z（t）在（1，+∞）单增，则z（t）＞z（1）=0，

则g'（t）＞0，则g（t）在（1，+∞）单增，

则g（t）＞g（1）=0，即（t2+1）lnt﹣t2+1＞0成立，

所以x1x2+4＞2（x1+x2）+e成立．…

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，（2）问题转化为证明：m＜-2，可化为（t2+1）lnt＞t2-1（t＞1）即证（t2+1）lnt﹣t2+1＞0，构造函数g（t）=（t2+1）lnt﹣t2+1（t＞1），根据单调性证明即可.