Question

8．求函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 将f（x）运用分子常数化，可得f（x）=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$，考虑分母的单调性，即可得到f（x）的单调性，可得最大值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x
=$\frac{（\sqrt{1+{x}^{2}}+x）（\sqrt{1+{x}^{2}}-x）}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$
=$\frac{1+{x}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$，
由于y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$和y=x在[1，+∞）上递增，
可得y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x在[1，+∞）上递增，
则函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在[1，+∞）上递减，
可得当x=1时，f（x）取得最大值为f（1）=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用分子常数化，结合函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．